Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & - 2 & 16 2 & 0 & - 8 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 067 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 16 \\ 2 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & - 2 & 16 2 & 0 & - 8 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 16 \\ 2 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

3 \times 3

$3 \times 3$ and the second matrix is

3 \times 1

$3 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 x - 2 y + 16 z 2 x + 0 y - 8 z 0 x + 0 y + 1 z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 067 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x + 0 y - 8 z \\ 0 x + 0 y + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

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Schritt 1.3.1

Addiere

0

$0$ und

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 x - 2 y + 16 z 2 x - 8 z 0 + z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 067 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x - 8 z \\ 0 + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Addiere

0

$0$ und

z

$z$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 x - 2 y + 16 z 2 x - 8 z z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 067 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x - 8 z \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 x - 2 y + 16 z 2 x - 8 z z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 067 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x - 8 z \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 x - 2 y + 16 z 2 x - 8 z z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 067 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x - 8 z \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

3 x - 2 y + 16 z = 0

$3 x - 2 y + 16 z = 0$

2 x - 8 z = 6

$2 x - 8 z = 6$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von

z

$z$ durch

7

$7$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze alle

z

$z$ in

3 x - 2 y + 16 z = 0

$3 x - 2 y + 16 z = 0$ durch

7

$7$ .

3 x - 2 y + 16 (7) = 0

$3 x - 2 y + 16 (7) = 0$

z = 7

$z = 7$

2 x - 8 z = 6

$2 x - 8 z = 6$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere

16

$16$ mit

7

$7$ .

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

2 x - 8 z = 6

$2 x - 8 z = 6$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

2 x - 8 z = 6

$2 x - 8 z = 6$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle

z

$z$ in

2 x - 8 z = 6

$2 x - 8 z = 6$ durch

7

$7$ .

2 x - 8 \cdot 7 = 6

$2 x - 8 \cdot 7 = 6$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.1.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere

- 8

$- 8$ mit

7

$7$ .

2 x - 56 = 6

$2 x - 56 = 6$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

2 x - 56 = 6

$2 x - 56 = 6$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

2 x - 56 = 6

$2 x - 56 = 6$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.2

Löse in

2 x - 56 = 6

$2 x - 56 = 6$ nach

x

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Bringe alle Terme, die nicht

x

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Addiere

56

$56$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 x = 6 + 56

$2 x = 6 + 56$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.2.1.2

Addiere

6

$6$ und

56

$56$ .

2 x = 62

$2 x = 62$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

2 x = 62

$2 x = 62$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in

2 x = 62

$2 x = 62$ durch

2

$2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 x = 62

$2 x = 62$ durch

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{62}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{62}{2}$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 x}{2} = \frac{62}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{62}{2}$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{62}{2}

$x = \frac{62}{2}$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

x = \frac{62}{2}

$x = \frac{62}{2}$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

x = \frac{62}{2}

$x = \frac{62}{2}$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere

62

$62$ durch

2

$2$ .

x = 31

$x = 31$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

x = 31

$x = 31$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

x = 31

$x = 31$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

x = 31

$x = 31$

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von

x

$x$ durch

31

$31$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze alle

x

$x$ in

3 x - 2 y + 112 = 0

$3 x - 2 y + 112 = 0$ durch

31

$31$ .

3 (31) - 2 y + 112 = 0

$3 (31) - 2 y + 112 = 0$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache

3 (31) - 2 y + 112

$3 (31) - 2 y + 112$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

31

$31$ .

93 - 2 y + 112 = 0

$93 - 2 y + 112 = 0$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.3.2.1.2

Addiere

93

$93$ und

112

$112$ .

- 2 y + 205 = 0

$- 2 y + 205 = 0$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

- 2 y + 205 = 0

$- 2 y + 205 = 0$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

- 2 y + 205 = 0

$- 2 y + 205 = 0$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

- 2 y + 205 = 0

$- 2 y + 205 = 0$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.4

Löse in

- 2 y + 205 = 0

$- 2 y + 205 = 0$ nach

y

$y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere

205

$205$ von beiden Seiten der Gleichung.

- 2 y = - 205

$- 2 y = - 205$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in

- 2 y = - 205

$- 2 y = - 205$ durch

- 2

$- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in

- 2 y = - 205

$- 2 y = - 205$ durch

- 2

$- 2$ .

\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 205}{- 2}

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 205}{- 2}$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

- 2

$- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 205}{- 2}

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 205}{- 2}$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere

y

$y$ durch

1

$1$ .

y = \frac{- 205}{- 2}

$y = \frac{- 205}{- 2}$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

y = \frac{- 205}{- 2}

$y = \frac{- 205}{- 2}$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

y = \frac{- 205}{- 2}

$y = \frac{- 205}{- 2}$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

y = \frac{205}{2}

$y = \frac{205}{2}$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

y = \frac{205}{2}

$y = \frac{205}{2}$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

y = \frac{205}{2}

$y = \frac{205}{2}$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

y = \frac{205}{2}

$y = \frac{205}{2}$

x = 31

$x = 31$

z = 7

$z = 7$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$y = \frac{205}{2} x = 31 z = 7$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$y = \frac{205}{2}, x = 31, z = 7$