Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 16 \\ 2 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 16 \\ 2 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x + 0 y - 8 z \\ 0 x + 0 y + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

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Schritt 1.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x - 8 z \\ 0 + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $z$ .

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y + 16 z \\ 2 x - 8 z \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 7 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

$3 x - 2 y + 16 z = 0$

$2 x - 8 z = 6$

$z = 7$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Ersetze alle $z$ in $3 x - 2 y + 16 z = 0$ durch $7$ .

$3 x - 2 y + 16 (7) = 0$

$z = 7$

$2 x - 8 z = 6$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $16$ mit $7$ .

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x - 8 z = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x - 8 z = 6$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $z$ in $2 x - 8 z = 6$ durch $7$ .

$2 x - 8 \cdot 7 = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Schritt 3.1.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$2 x - 56 = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x - 56 = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x - 56 = 6$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Schritt 3.2

Löse in $2 x - 56 = 6$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1.1

Addiere $56$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 6 + 56$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $6$ und $56$ .

$2 x = 62$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$2 x = 62$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 62$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 62$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = \frac{62}{2}$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $62$ durch $2$ .

$x = 31$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = 31$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = 31$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

$x = 31$

$3 x - 2 y + 112 = 0$

$z = 7$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $31$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - 2 y + 112 = 0$ durch $31$ .

$3 (31) - 2 y + 112 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $3 (31) - 2 y + 112$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $31$ .

$93 - 2 y + 112 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

Schritt 3.3.2.1.2

Addiere $93$ und $112$ .

$- 2 y + 205 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

$- 2 y + 205 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

$- 2 y + 205 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

$- 2 y + 205 = 0$

$x = 31$

$z = 7$

Schritt 3.4

Löse in $- 2 y + 205 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $205$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y = - 205$

$x = 31$

$z = 7$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = - 205$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = - 205$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{- 205}{- 2}$

$x = 31$

$z = 7$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{205}{2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{205}{2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{205}{2}$

$x = 31$

$z = 7$

$y = \frac{205}{2}$

$x = 31$

$z = 7$

Schritt 3.5

Löse das Gleichungssystem.

$y = \frac{205}{2} x = 31 z = 7$

Schritt 3.6

Liste alle Lösungen auf.

$y = \frac{205}{2}, x = 31, z = 7$